Question

已知各项均为实数的数列{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n，且满足S₄＝2S₂＋8．

（1）求公差d的值；

（2）若数列{a_n}的首项的平方与其余各项之和不超过10，则这样的数列至多有多少项；

（3）请直接写出满足（2）的项数最多时的一个数列（不需要给出演算步骤）．

Answer 1

（Ⅰ）d＝2；

（Ⅱ）（Ⅱ）至多有4项．

考虑到d＝2，且首项的平方与其余各项之和不超过10，所以可用枚举法研究．

①当a₁＝0时， 0²＋d＋2d＝0＋2＋4≤10，而0²＋d＋2d＋3d＝0＋2＋4＋6＞10，此时，数列至多3项；

②当a₁＞0时，可得数列至多3项；

③当a₁＜0时，a₁²＋a₁＋d＋a₁＋2d＋a₁＋3d≤10，即a₁²＋3a₁＋2≤0，此时a₁有解．

而a₁²＋a₁＋d＋a₁＋2d＋a₁＋3d＋a₁＋4d≤10，即a₁²＋4a₁＋10≤0，此时a₁无解．

所以a₁＜0时，数列至多有4项．

（Ⅲ）a₁＝－1时，数列为：－1，1，3，5；或a₁＝－2时，数列为：－2，0，2，4．