Question

如图,已知PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,M、N分别是AB、PC中点.

(1)求证:MN⊥AB;

(2)若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为θ,能否确定θ的值,使得MN是异面直线AB与PC的公垂线?

Answer 1

(1)证明:连结AC,取AC中点Q,连结MQ、NQ,则NQ∥PA.

∵PA⊥平面ABCD,

∴NQ⊥平面ABCD.

∴NQ⊥AB.

    又AB⊥MQ,

∴AB⊥平面MNQ.

∴AB⊥MN.

(2)解:∵AD⊥DC,PA⊥AD,∴∠PDA=θ.

    若MN为PC与AB的公垂线,

    则MN⊥PC.又N为PC的中点,

∴PM=MC.

    若设BC=a,CD=2b,则MC==PM,

∴PA==a.

∵PA=a=AD,

∴θ=45°.

    故当θ=45°时,可使得MN是异面直线AB与PC的公垂线.