Question

如图，S-ABC是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，三角形BEF的周长的最小值为，则侧棱SA，SC的夹角为

1. A.
   30°
2. B.
   60°
3. C.
   20°
4. D.
   90°

Answer 1

A
分析：由题意，三角形BEF的周长的最小值为，即沿多面体表面从B到B经过的长度的最小值为，可将此几何体沿SB剪开，变多面体表面上的轨迹长度问题为平面上的两点间距离问题，展开后得到等腰三角形SBB'，可求得此时∠BSB'=90°，再由正三棱锥的性质得SA，SC的夹角为30°，选出正确选项
解答：把正三棱锥沿SB剪开，并展开，形成三个全等的等腰三角形，△SBC、△SCA、△SAB'，
连接BB'，交SC于F，交SA于E，则线段BB′就是△BEF的最小周长，BB'=a，
又SB=SB'=a，根据勾股定理，SB²+SB'²=BB'²=2a²，
△SBB'是等腰直角三角形，
∴∠BSB'=90°，
∴∠ASC=90°×=30°，
∴侧棱SA，SC的夹角为30°
故选A
点评：本题考查了多面体表面上的距离问题及线线夹角求法问题，解题的关键是将多面体展开，将多面体表面上的轨迹长度问题变化为平面上的两点间距离问题研究，这里用到了几何中常用的降维的技巧，化体为面是一个重要的技巧．本题易因为没有把立体问题转化为平面问题研究而导致无法求解．