Question

11．求二次函数f（x）=x²-6x+7在区间[t，t+1]上 的最小值g（t）．

Answer 1

分析 先求出函数的对称轴，通过讨论t的范围，确定函数的单调性，从而求出g（t）的表达式．

解答 解：函数f（x）的对称轴是x=3，
∴函数f（x）在（-∞，3）单调递减，在（3，+∞）单调递增，
①当t+1≤3，即t≤2时，f（x）在[t，t+1]单调递减，
g（t）=f（x）_min=f（t+1）=t²-4t+2，
②t＜3＜t+1，即2＜t＜3时，f（x）在[t，3）递减，在（3，t+1]递增，
∴g（t）=f（x）_min=f（3）=-2，
③t≥3时，函数f（x）在[t，t+1]单调递增，
∴g（t）=f（x）_min=f（t）=t²-6t+7，
∴g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{t}^{2}-4t+2，t≤2\\-2，2＜t＜3\\{t}^{2}-6t+7，t≥3\end{array}\right.$

点评 本题考查了二次函数的性质，函数的单调性、最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．