Question

（2012•杨浦区一模）已知△ABC的三个顶点在抛物线Γ：x²=y上运动．
（1）求Γ的焦点坐标；
（2）若点A在坐标原点，且∠BAC=

π

2

，点M在BC上，且

AM

•

BC

= 0，求点M的轨迹方程；
（3）试研究：是否存在一条边所在直线的斜率为

2

的正三角形ABC，若存在，求出这个正三角形ABC的边长，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由抛物线的方程，可得抛物线的焦点在y轴上，开口向上，故可得焦点坐标；
（2）设点M的坐标为（x，y），设出AB、AC方程与抛物线方程联立，确定B、C的坐标，从而可得BC的方程，利用

AM

•

BC

=0，即可求得点M的轨迹方程；
（3）设A、B、C的坐标，求得△ABC的三边所在直线的斜率，若AB边所在直线的斜率为

2

，AB边所在直线和x轴的正方向所成角为α（0°＜α＜90°），则tanα=

2

，得出坐标之间的关系，即可求得|AB|．

解答：解：（1）由x²=y可得焦点在y轴的正半轴上，且2p=1，所以，焦点坐标为（0，

1

4

） 　　　　　　　　…（3分）
（2）设点M的坐标为（x，y），AB方程为y=kx，由∠BAC=

π

2

得AC方程为y=-

1

k

x，则

y=kx y=x2

得B（k，k²），同理可得C（-

1

k

，

1

k2

）
∴BC方程为y-k²=

k2- 1 k2

k+ 1 k

(x-k)恒过定点P（0，1），…（10分）
∴

AM

=(x，y)，

MN

=(-x，1-y)
∵

AM

•

BC

=0
∴

AM

•

MN

=0，
所以，-x×x+y（1-y）=0，即y²+x²-y=0（x≠0）
（3）设A（p，p²），B（q，q²），C（r，r²），△ABC的三边所在直线AB，BC，CA的斜率分别是p+q，q+r，r+p------①…（12分）
若AB边所在直线的斜率为

2

，AB边所在直线和x轴的正方向所成角为α（0°＜α＜90°），则tanα=

2

，
所以

q+r=tan(α-60°) r+p=tan(α+60°)

                                         …（14分）
∴q-p=tan（α-60°）-tan（α+60°）=

6 3

5

-----②
又p+q=tanα=

2

--------------③…（16分）
所以，|AB|=

(q-p)2+(q2-p2)2

=

18

5

  …（18分）

点评：本题考查抛物线的性质，考查轨迹方程的求解，考查向量知识的运用，考查直线的斜率的计算，综合性强．