Question

定义在R上的函数f（x）为奇函数，当x∈（0，1）时，有f（x）=

2x

4x+1

，
（1）求f（x）在（-1，0）上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性并用证明．

Answer 1

分析：（1）根据函数奇偶性的性质求f（x）在（-1，0）上的解析式；
（2）利用函数单调性的定义进行证明函数的单调性即可．

解答：解：（1）设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），
当x∈（0，1）时，有f（x）=

2x

4x+1

，
∴f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

1+4x

，
∵在R上的函数f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）=

2x

1+4x

=-f（x）
∴f（x）=-

2x

1+4x

，
即f（x）在（-1，0）上的解析式为f（x）=-

2x

1+4x

．
（2）单调递减．
任设x₁，x₂∈（0，1），不妨设0＜x₁＜x₂＜1，
则f(x1)-f(x2)=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

2x1?(4x2+1)-2x2?(4x1+1)

(4x1+1)(4x2+1)

=

(2x1-2x2)?(1-2x1+x2)

(4x1+1)(4x2+1)

，
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴2x11，
∴2x1-2x2＜0，1-2x1+x2＜0，
即f(x1)-f(x2)=

(2x1-2x2)?(1-2x1+x2)

(4x1+1)(4x2+1)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1）上的单调递减．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用和单调性的应用，利用函数奇偶性的定义和单调性的定义是解决本题的关键，考查学生的运算能力．