Question

定义在R上的函数f(x)满足:如果对任意x₁、x₂∈R都有f()≤［f(x₁)+f(x₂)］,则称f(x)为R上的凹函数,已知二次函数f(x)=ax²+x(a∈R,a≠0).??

(1)求证:当a＞0时,函数f(x)是凹函数;?

(2)若x∈［0,1］时,|f(x)|≤1,试求实数a的取值范围.??

Answer 1

(1)证明:对任意x₁、x₂∈R,∵a＞0,?

∴［f(x₁)+f(x₂)］-2f()?

=ax₁²+x₁+ax₂²+x₂-2［a()²+］??

=ax₁²+ax₂²-a(x₁²+x₂²+2x₁x₂)?

=a(x₁-x₂)²≥0.?

∴f()≤［f(x₁)+f(x₂)］.?

∴f(x)为凹函数.?

(2)解析:由|f(x)|≤1-1≤f(x)≤1-1≤ax²+x≤1.(*)?

当x=0时,a∈R;?

当x∈(0,1］时,(*)即?

恒成立.?

∵x∈(0,1］,

∴≥1.?

∴当=1时,-(+)²+取得最大值是-2;?

当=1时,(- )²-取得最小值0.?

∴-2≤a≤0,结合a≠0,得-2≤a＜0.??

综上,a的范围是［-2,0).