Question

在锐角△ABC中，b=2，B=

π

3

，sin2A+sin（A-C）-sinB=0，则△ABC的面积为

 

．

Answer 1

分析：根据三角形的内角和定理得到三个角之和为π，表示出B，代入已知的等式中，利用诱导公式化简，再利用二倍角的正弦函数公式及和差化积公式变形，提取2cosA，等式左边变为积的形式，根据两数之积为0，至少有一个为0，可得cosA=0或sinA=sinC，由cosA=0，根据A为三角形的内角，可得A为直角，但三角形为锐角三角形，矛盾，故舍去；由sinA=sinC，根据A和C都为锐角，可得A=C，又B为

π

3

，可得三角形为等边三角形，且边长为2，进而求出等边三角形的面积即可．

解答：解：∵A+B+C=π，∴B=π-（A+C），
∴sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C），
代入sin2A+sin（A-C）-sinB=0得：sin2A-[sin（A+C）-sin（A-C）]=0，
变形得：2sinAcosA-2cosAsinC=0，即2cosA（sinA-sinC）=0，
所以cosA=0或sinA=sinC，
解得A=

π

2

（又锐角△ABC，此情况不满足，舍去）或A=C，
所以A=C，又B=

π

3

，b=2，
所以△ABC为边长为2的等边三角形，
则△ABC的面积S=

3

4

×2²=

3

．
故答案为：

3

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有诱导公式，和差化积公式，二倍角的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．