Question

设数．
（1）求c的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=λa_n+n²+n，若b_n+1＞b_n对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）n≥2时，，，两式相减化简可得数列{a_n}是等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用b_n=λa_n+n²+n，可将b_n+1＞b_n表示为λa_n+1+（n+1）²+n+1＞λa_n+n²+n，从而有，由于涉及到，故需进行分类讨论研究函数的最值，从而求出实数λ的取值范围．
解答：解：（1）n=1时，，∴，
n≥2时，，，两式相减化简得，由得，
∴a₁=2，∴数列{a_n}是等比数列，
（2）∵b_n+1＞b_n，∴λa_n+1+（n+1）²+n+1＞λa_n+n²+n，∴，∴∵，∴当n=1，则要使对一切n∈N^*恒成立，则；
②∵，∴当n=2
，则要使对一切n∈N^*恒成立，则λ＞-4
综上知，．
点评：本题主要考查等比数列的通项公式，利用两式相减的方法，考查恒成立问题的处理，利用最值法解决，有一定的综合性．