Question

7．已知定义在R上的函数y=f（x）满足：函数y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，且当x∈（-∞，0），f（x）+xf′（x）＜0（f′（x）是函数f（x）的导函数）成立．若$a=（sin\frac{1}{2}）•f（sin\frac{1}{2}）$，b=（ln2）•$f（ln2），c=（lo{g_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{4}）•$$f（lo{g_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{4}）$，则a，b，c的大小关系是（　　）

• A． a＞b＞c
• B． b＞a＞c
• C． c＞a＞b
• D． a＞c＞b

Answer 1

分析 由导数性质推导出当x∈（-∞，0）或x∈（0，+∞）时，函数y=xf（x）单调递减．由此能求出结果．

解答 解：∵函数y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，
∴y=f（x）关于y轴对称，
∴函数y=xf（x）为奇函数．
∵[xf（x）]'=f（x）+xf'（x），
∴当x∈（-∞，0）时，[xf（x）]'=f（x）+xf'（x）＜0，函数y=xf（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，函数y=xf（x）单调递减．
∵$0＜sin\frac{1}{2}＜\frac{1}{2}$，$1＞ln2＞ln\sqrt{e}=\frac{1}{2}$，${log_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{4}=2$，$0＜sin\frac{1}{2}＜ln2＜{log_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{4}$，
∴a＞b＞c．
故选：A．

点评 本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意导数性质、函数性质的合理运用．