Question

已知正四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的正方形，高为．M为线段PC的中点．

(Ⅰ)求证：PA∥平面MDB；

(Ⅱ)N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：在四棱锥P－ABCD中，连结AC交BD于点O，连结OM，PO．由条件可得PO＝，AC＝2，PA＝PC＝2，CO＝AO＝． 　　因为在△PAC中，M为PC的中点，O为AC的中点， 　　所以OM为△PAC的中位线，得OM∥AP， 　　又因为AP平面MDB，OM平面MDB， 　　所以PA∥平面MDB．　6分 　　(Ⅱ)解：设NC∩MO＝E，由题意得BP＝BC＝2，且∠CPN＝90°． 　　因为M为PC的中点，所以PC⊥BM， 　　同理PC⊥DM，故PC⊥平面BMD． 　　所以直线CN在平面BMD内的射影为直线OM，∠MEC为直线CN与平面BMD所成的角， 　　又因为OM∥PA，所以∠PNC＝∠MEC． 　　在Rt△CPN中，CP＝2，NP＝1，所以tan∠PNC＝， 　　故直线CN与平面BMD所成角的正切值为2．　14分

提示：

本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．