Question

2．（1）若直线l的倾斜角a满足$\frac{π}{4}$≤a≤$\frac{3}{4}$π，则直线l的斜率的范围是（-∞，-1]∪[1，+∞）
（2）若直线l的斜率为$\frac{4}{3}$，而直线m的倾斜角是直线l倾斜角的2倍，则直线m的斜率是$-\frac{24}{7}$
（3）若直线l的倾斜角的正弦是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则直线l的斜率是$±\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）由直线l的倾斜角a满足$\frac{π}{4}$≤a≤$\frac{3}{4}$π，则直线l的斜率k=tana≥$tan\frac{π}{4}$，或tana≤$tan\frac{3π}{4}$，解出即可得出．
（2）设直线l的倾斜角为θ，tanθ=$\frac{4}{3}$，可得直线m的斜率k=tan2θ=$\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$．
（3）直线l的倾斜角θ的正弦是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得θ=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．即可得出．

解答 解：（1）∵直线l的倾斜角a满足$\frac{π}{4}$≤a≤$\frac{3}{4}$π，则直线l的斜率k=tana≥$tan\frac{π}{4}$=1，或tana≤$tan\frac{3π}{4}$=-1．
∴直线l的斜率的范围是（-∞，-1]∪[1，+∞）．
（2）设直线l的倾斜角为θ，tanθ=$\frac{4}{3}$，
则直线m的斜率k=tan2θ=$\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$=$\frac{2×\frac{4}{3}}{1-（\frac{4}{3}）^{2}}$=-$\frac{24}{7}$．
（3）∵直线l的倾斜角θ的正弦是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴θ=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
则直线l的斜率tan$\frac{π}{3}$或tan$\frac{2π}{3}$，可得±$\sqrt{3}$．
故答案分别为：（-∞，-1]∪[1，+∞）；-$\frac{24}{7}$；±$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、正切公式、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．