Question

已知α，β是三次函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx的两个极值点，且α∈（0，1），β∈（1，2），则

b-2

a-1

的取值范围是（　　）

• A、(

  1

  4

  ，1)
• B、(

  1

  2

  ，1)
• C、(-

  1

  2

  ，

  1

  4

  )
• D、(-

  1

  2

  ，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：由已知中α，β是三次函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx的两个极值点，且α∈（0，1），β∈（1，2），我们易得f′（x）=x²+ax+2b的两个零点分别在区间（0，1）和（1，2）上，由零点存在定理，我们易构造关于a，b的不等式组，将问题转化为一个线性规划问题，分析

b-2

a-1

的几何意义，即可根据数形结合求出答案．

解答：解：∵函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx
∴f′（x）=x²+ax+2b
又∵α∈（0，1），β∈（1，2），
∴

f′(0)=2b＞0 f′(1)=1+a+2b＜0 f′(2)=4+2a+2b＞0

其对应的平面区域如下图所示：
由图可得：当x=-3，y=1时，

b-2

a-1

取最小值

1

4

；
当x=-1，y=0时，

b-2

a-1

取最大值1；
故选A

点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，其中根据函数在某点取得极值的条件，将问题转化为函数的零点问题，再根据零点存在定理，将问题转化为线性规划问题是解答本题的关键．