Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=1，a_n+1=λa_n+a_n-1
（I）若是公比为β的等比数列，求α和β的值．
（II）若λ=1，基于事实：如果d是a和b的公约数，那么d一定是a-b的约数．研讨是否存在正整数k和n，使得ka_n+2+a_n与ka_n+3+a_n+1有大于1的公约数，如果存在求出k和n，如果不存在请说明理由．

Answer 1

（I）∵数列{b_n}是公比为β的等比数列，∴b_n=βb_n-1，∴a_n+1-αa_n=β（a_n-a_n-1）…（2分）
即a_n+1=（α+β）a_n-αβa_n-1，又，
∴…（4分）∴α，β是方的两根，
∴…（6分）
（II）假设存在正整数k，n使得ka_n+2+a_n与ka_n+3+a_n+1有大于1的公约数d，
d也是（ka_n+3+a_n+1）-（ka_n+2+a_n）即k（a_n+3-a_n+2）+k（a_n+1-a_n）的约数，
依题设a_n+3-a_n+2=a_n+1，a_n+1-a_n=a_n-1，
∴d是ka_n+1+a_n-1的约数…（8分）
从而d是ka_n+2+a_n与ka_n+1+a_n-1的公约数
同理可得d是ka_n+a_n-2的约数依此类推，d是ka₄+a₂与ka₃+a₁的约数…（10分）
又a₁=1，a₂=1，故a₃=2，a₄=3，
于是ka₄+a₂=3k+1，ka₃+a₁=2k+1 …（12分）
又∵（3k+1）-（2k+1）=k，∴d是k的约数和2k+1的约数，
∴d是（2k+1）-k即k+1的约数
从而d是（k+1）-k即1的约数，这与d＞1矛盾
故不存在k，n是ka_n+2+a_n与ka_n+3+a_n+1有大于1的公约数．
分析：（I）根据a_n+1=λa_n+a_n-1，，数列b_n是公比为β的等比数列，
可求得a_n+1=（α+β）a_n-αβa_n-1，又，从而可求得α，β的值；
（II）可假设存在正整数k，n使得ka_n+2+a_n与ka_n+3+a_n+1有大于1的公约数d，d也是（ka_n+3+a_n+1）-（ka_n+2+a_n）即k（a_n+3-a_n+2）+k（a_n+1-a_n）的约数，从而推出d是ka_n+1+a_n-1的约数，也是ka_n+2+a_n与ka_n+1+a_n-1的公约数；依此类推，d是ka₄+a₂与ka₃+a₁的约数；最终导出d是（k+1）-k即1的约数，这与d＞1矛盾，从而结论．
点评：本题考查等比数列的性质，着重考查学生综合分析与应用公示的能力，推理论证的能力，属于难题．