Question

一个多面体的直观图和三视图（主视图、左视图、俯视图）如图所示，M、N分别为A₁B、B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求证：MN⊥平面A₁BC．

Answer 1

解：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC₁
（Ⅰ）连接AC₁，AB₁．
由直三棱柱的性质得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，所以AA₁⊥A₁B₁，
则四边形ABB₁A₁为矩形．
由矩形性质得AB₁过A₁B的中点M
在△AB₁C₁中，由中位线性质得MN∥AC₁，
又AC_1^?平面ACC₁A₁，MN?平面ACC₁A₁，
所以MN∥平面ACC₁A₁
（Ⅱ）因为BC⊥平面ACC₁A₁，AC₁?平面ACC₁A₁，
所以BC⊥AC₁
在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC₁
又因为BC∩A₁C=C，所以AC₁⊥平面A₁BC
由MN∥AC₁，得MN⊥平面A₁BC
分析：（Ⅰ）先根据题中的三视图得到AC⊥BC，AC=BC=CC₁，然后连接AC₁和AB₁，再由直三棱柱的性质得到四边形ABB₁A₁为矩形，再由中位线定理可得到MN∥AC₁，最后根据线面平行的判定定理可证明MN∥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）先根据线面垂直的性质定理可得到BC⊥AC₁，再根据A₁CA⊥AC₁，根据线面垂直的判定定理得到AC₁⊥平面A₁BC，最后根据MN∥AC₁，得MN⊥平面A₁BC，从而得证．
点评：本题主要考查中位线定理、线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理．考查对立体几何基本定理的综合应用和空间想象能力．