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    （本小题满分13分）已知数列.如果数列满足，，其中，则称为的“衍生数列”.

    （Ⅰ）写出数列的“衍生数列”；

    （Ⅱ）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：；

    （Ⅲ）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，….依次将数

    列，，，…的首项取出，构成数列.证明：是等差数列.

     

    【答案】

    （Ⅰ）解：.                      ………………3分

    （Ⅱ）证明： 因为 ，

    ，

    ，

    ……

    ，

    由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得

          即，.                                     ………………8分

    （Ⅲ）证明：对于数列及其“衍生数列”，

    因为 ，

    ，

    ，

    ……

    ，

    由于为奇数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，

    相加得

          即.

    设数列的“衍生数列”为，

    因为 ，，

    所以 ，   即成等差数列.       ………………12分

    同理可证，也成等差数列.

    从而是等差数列.             ………………13分

    【解析】略

     

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