Question

已知圆C上一点A（2，3），直线2x+y=0平分圆C，且圆C与直线x-y+1=0相交的弦长为，求圆C的方程．

Answer 1

解：设圆的方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²
∵直线2x+y=0平分圆，
则：圆心在直线2x+y=0上，则2a+b=0?b=-2a（2分）
又直线x-y+1=0与圆相交所得的弦长为，
由圆的几何性质可得：圆心到该直线的距离为（2分）
即：（2分）
∴该圆的方程为，
把A的坐标（2，3）代入圆的方程得：a²+10a+21=0，
解得：a=-3或a=-7，
∴圆的方程为：（x+3）²+（y-6）²=34或（x+7）²+（y-14）²=202．
分析：由圆心为（a，b），半径为r，设出圆的标准方程，由直线2x+y=0平分圆C得到圆心C在直线上，把圆心的坐标代入已知直线方程用a表示出b，然后根据圆C与直线x-y+1=0相交的弦长，根据垂径定理及勾股定理，由圆的半径r及弦长的一半表示出圆心到直线x-y+1=0的距离，利用点到直线的距离公式，表示出圆心到直线x-y+1=0的距离，两者相等，用a表示出r，将表示出的b和半径r代入圆的方程消去b和r，再把A的坐标代入圆的方程，即可求出a的值，从而确定出圆的方程．
点评：此题考查了直线与圆相交的性质，垂径定理、勾股定理及圆的对称性，点到直线的距离公式，要求学生综合圆的几何性质来解决问题，解答此类题常常利用待定系数法来求出圆的标准方程，同时在解答时注意消去参数b和r．