Question

（2012•西山区模拟）自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．

Answer 1

分析：根据MA为圆O的切线，由切割线定理得MA²=MB•MC．从而MP²=MB•MC．依据相似三角形的判定方法得：△BMP∽△PMC得出∠MPB=∠MCP．最后在△MCP中，即得∠MPB．

解答：选修4-1：几何证明选讲，
解：因为MA是圆O的切线，所以MA²=MB•MC（2分）
又M是PA的中点，所以MP²=MB•MC
因为∠BMP=∠PMC，所以△BMP∽△PMC（6分）
于是∠MPB=∠MCP，
在△MCP中，由∠MPB+∠MCP+∠BPC+∠BMP=180°，
即 100°+2∠MPB+40°=180°；
得∠MPB=20°（10分）

点评：本题考查了圆当中的比例线段，以及三角形相似的有关知识点，属于中档题．找到题中的相似三角形来得到角的相等，是解决本题的关键．