Question

（02年北京卷理）（13分）

已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：

.

   （Ⅰ）求f（0），f（1）的值；

   （Ⅱ）判断的奇偶性，并证明你的结论；

   （Ⅲ）若，求数列{u_n}的前n项的和S_n.

Answer 1

解析：（Ⅰ）解：.

因为，

        所以

   （Ⅱ）是奇函数.  证明：因为，

         因此，为奇函数.

   （Ⅲ）解法一：由，

         猜测. 下面用数学归纳法证明：

         1° 当n=1时，，公式成立；

 2°假设当n=k时，成立，那么当n=k+1时，

 ，公式仍成立.

         由上两步可知，对任意成立.所以.

         因为所以，

         .

        解法二：当，

          故

          所以 （以下同解法一）