Question

已知O为坐标原点，

OA

=（2cos²x+a，2sinx），

OB

=（1，

3

cosx）（x∈R，a∈R，a是常数），设f（x）=

OA

•

OB

（1）求函数式f（x）关系式；
（2）已知函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最小值为-1，求a的值及函数f（x）的单调减区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）由平面向量数量积的运算，两角和与差的正弦函数公式即可求得f（x）=1+a+2sin（2x+

π

6

）．
（2）由x∈[0，

π

2

]，可得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，从而可求f（x）_min=-1=f（

7π

6

）=a，即可解得a的值，令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得函数f（x）的单调减区间．

解答： 解：（1）f（x）=

OA

•

OB

=2cos²x+a+2

3

sinxcosx=1+a+cos2x+

3

sin2x=1+a+2sin（2x+

π

6

）．
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴f（x）_min=-1=f（

7π

6

）=a
∴a=-1
∵令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z
∴函数f（x）的单调减区间是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．

点评：本题主要考查了平面向量数量积的运算，两角和与差的正弦函数公式的应用，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查．