Question

已知两个函数，.

(1) 若对任意，都有成立，求实数c的取值范围；

(2) 若对任意，，都有成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

解：(1)∵f(x)≤g(x)恒成立，

∴c≥(－2x³＋3x²＋12x)_max.

令F(x)＝－2x³＋3x²＋12x，x∈[－3,3]，

∴F′(x)＝－6x²＋6x＋12，x∈[－3,3]，

令F′(x)＝0得x＝－1或x＝2.

∴当x∈[－1,2]，f′(x)≥0，f(x)单调递增，

当x∈[－3，－1)或x∈(2,3]，f′(x)<0，

f(x)单调递减，

又∵F(2)＝20，F(－3)＝45，

∴F(x)_max＝F(－3)＝45，∴c≥45

(2)∵f(x₁)＝7(x₁－2)²－28－c，x₁∈[－3,3]，

∴f(x₁)_max＝f(－3)＝147－c，

∵g(x)＝2x³＋4x²－40x，

∴g′(x)＝6x²＋8x－40.

∵x∈[－3,3]，

∴当x∈[－3,2]时，g′(x)≤0，g(x)单调递减；

x∈(2,3)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．

∴x₂∈[－3,3]时，g(x₂)_min＝g(2)＝－48.

又∵f(x₁)≤g(x₂)对任意x₁，x₂∈[－3,3]都成立，

∴147－c≤－48，即c≥195，

即实数c的取值范围为[195，＋∞).