Question

直线2ax+by-2ab+6=0（a＞0，b＞0）平分圆（x-1）²+（y-2）²=4的面积，则ab的最小值等于________．

Answer 1

9
分析：由题意可知直线经过圆的圆心，求出圆的圆心，代入直线方程得到a，b的关系，然后利用基本不等式求出ab的最小值．
解答：圆的（x-1）²+（y-2）²=4圆心为（1，2），
因为直线2ax+by-2ab+6=0（a＞0，b＞0）平分圆（x-1）²+（y-2）²=4的面积，
所以直线经过圆的圆心，
所以2a+2b-2ab+6=0，
即a+b-ab+3=0，（a＞0，b＞0）
所以a+b-ab+3=0≥2-ab+3，（当且仅当a=b时取等号）
即ab-2-3≥0，?（+1）（-3）≥0，（a＞0，b＞0）
所以≥3，ab≥9．
所以ab的最小值为9．
故答案为：9．
点评：本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，基本不等式的应用，注意等号成立的条件，考查计算能力．