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已知抛物线方程y2=4x,过点P(1,2)的直线与抛物线只有一个交点,这样的直线有(  )
A、0条B、1条C、2条D、3条
分析:由题意可知,点P是抛物线上的点,当过P的直线的斜率不存在时,直线与抛物线有一个交点,当斜率存在时,设出直线方程,和抛物线方程联立后由判别式等于0求解斜率的值,从而判出与抛物线只有一个交点的直线的条数.
解答:解:∵点P(1,2)在抛物线y2=4x上,当直线过点P(1,2)且斜率为0时,直线与抛物线只有一个交点;
当过点P(1,2)的直线斜率存在且不为0时,设直线方程为y-2=k(x-1),
联立
y-2=k(x-1)
y2=4x
,得ky2-4y-4k+8=0.
由△=(-4)2-4k(-4k+8)=0,解得:k=1.
∴过点P(1,2)的抛物线y2=4x的切线有一条.
综上,过点P(1,2)与抛物线只有一个交点的直线有2条.
故选:C.
点评:本题考查了直线与圆锥曲线的关系,考查了分类讨论的数学思想方法,训练了利用判别式判断一元二次方程解的个数,是中档题.
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B.
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