Question

近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=3-

2

x+1

（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为(4+

20

P

)元/件．
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

Answer 1

分析：（1）根据产品的利润=销售额-产品的成本建立函数关系；
（2）利用基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．

解答：解：（1）由题意知，y=(4+

20

P

)P-x-(10+2P)，
将P=3-

2

x+1

代入化简得：y=16-

4

x+1

-x （0≤x≤a）．…（6分）
（2）y=17-(

4

x+1

+x+1)≤17-2

4 x+1 ×(x+1)

=13，
当且仅当

4

x+1

=x+1，即x=1时，上式取等号．…（9分）
当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
当a＜1时，y=17-(

4

x+1

+x+1)在[0，a]上单调递增，
所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．
综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；
当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．…（12分）

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．