Question

如果过点（0，1）斜率为k的直线l与圆x²+y²+kx+my-4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，那么直线l的斜率k=

 

；不等式组

kx-y+1≥0 kx-my≤0 y≥0

表示的平面区域的面积是

 

．

Answer 1

分析：根据直线l与直线x+y=0垂直，斜率之积等于-1，求出直线l的斜率，化简不等式组，结合图形求不等式组表示的平面区域的面积．

解答：解：∵斜率为k的直线l与圆x²+y²+kx+my-4=0交于M、N两点，
且M、N关于直线x+y=0对称，
∴直线l与直线x+y=0垂直，斜率之积等于-1，
∴直线l的斜率k=1．
圆方程即(x+

k

2

)2+(y+

m

2

)2=

17+m2+k2

4

，
即 (x+

1

2

)2+(y+

m

2

)2=

17+m2

4

．
由题意可得，圆心在直线x+y=0上，∴-

1

2

-

m

2

=0，∴m=-1．
不等式组即 

x-y+1≥0 x+y≤0 y≥0

，表示的区域如图所示△AOB，
易求A（

1

2

，

1

2

），B（1，0），
∴三角形AOB的面积等于

1

2

×1×

1

2

=

1

4

，
故答案为  1，

1

4

．

点评：本题考查两条直线垂直的条件，以及求二元一次不等式组表示平面区域的面积的求法，属于中档题．