Question

已知数列｛b_n｝是等差数列，b₁=1,b₁+b₂+……+b₁₀=145.

 

(1)求数列｛b_n｝的通项b_n；

(2)设数列｛a_n｝的通项a_n=log_a(1+)(其中a＞0，且a≠1)，

记S_n是数列｛a_n｝的前n项和.试比较S_n与log_ab_n+1的大小，并证明你的结论.

Answer 1

①设数列｛b_n｝的公差为d，由题意得

解得           ∴b_n＝3n－2?

 

②由S_n＝3n－2知?

S_n＝log_a（1＋1）＋log_a（1＋）＋…＋log_a（1＋）

＝log_a［（1＋1）（1＋）（1＋）…（1＋）］log_ab_n＋1

＝log_a

因此要比较S_n与log_ab_n＋1的大小，可先比较(1＋1）（1＋）…（1＋）与的大小.

取n=1  有(1＋1）＞?

取n=2  有（1＋1）（1＋）＞，?

……?

由此推测(1＋1）（1＋）……（1＋）＞①?

 

若①式成立，则由对数函数性质可断定：?

当a＞1时，S_n＞log_ab_n+1??

 

当0＜a＜1时，S_n＜log_ab_n+1.?

 

下面用数学归纳法证明①式.?

 

(i)当n=1时已验证①式成立.?

 

(ii）假设当n=k(k≥1)时，①式成立，?

 

即(1+1)(1+)……(1+)＞.

 

那么，当n=k+1时，

(1+1)(1+)……(1+)·(1+)＞(1+)

 

=(3k+2)

 

∵ =

 

∴(3k+2)＞=

 

因而(1+1)(1+)……(1+)(1+＞

 

这就是说①式当n=k+1时也成立.?

由(i)(ii)知，①式对任何自然数n都成立.由此证得：?

当a＞1时，S_n＞log_ab_n+1

 

当0＜a＜1时，S_n＜log_ab_n+1

 

评述：该题是综合题，主要考查等差数列、数学归纳法、对数函数的性质等基本知识，以及归纳猜想，等价转化和代数式恒等变形的能力，相比之下，对能力的考查，远远高于对知识的考查.