Question

若P、q是方程的两实根，且p，p-q，q成等比数列．
（1）求正数t的值．
（2）设，S_n为数列{a_n}的前n项和．求证：．

Answer 1

解：（1）∵P、q是方程的两实根，
∴p+q=，pq=t²，
∵p，p-q，q成等比数列，
∴（p-q）²=pq，即（p+q）²=5pq，
∴10=5t²，
∵t＞0，∴t=．
（2）∵=，
∴S_n==1-＜1=，
而1-≥1-==log₂t，
∴．
分析：（1）根据P、q是方程的两实根，利用韦达定理可求得p+q，pq，p，p-q，q成等比数列，根据等比中项的定义可得（p-q）²=pq，然后配凑成韦达定理的形式，即可求得正数t的值；
（2）根据，利用裂项相消法可求其前n项和S_n，再利用数列的单调性可证．
点评：此题是个中档题．考查韦达定理的应用和等比数列的性质，以及裂项相消法求数列的前n项和，体现了方程的思想．以及学生综合运用知识解决问题的能力．