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(2012•洛阳模拟)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,
q
=(2a,1),
p
=(2b-c,cosC)且
p
q

求:
(I)求sinA的值;
(II)求三角函数式
-2cos2C
1+tanC
+1
的取值范围.
分析:(I)根据向量平行的充要条件列式:2b-c=2acosC,结合正弦定理与两角和的正弦公式,化简可得2cosAsinC=sinC,最后用正弦的诱导公式化简整理,可得cosA=
1
2
,从而得到sinA的值;
(II)将三角函数式用二倍角的余弦公式结合“切化弦”,化简整理得
2
sin(2C-
π
4
),再根据A=
π
3
算出C的范围,得到sin(2C-
π
4
)的取值范围,最终得到原三角函数式的取值范围.
解答:解:(I)∵
p
q
,∴2acosC=1×(2b-c),
根据正弦定理,得2sinAcosC=2sinB-sinC,
又∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
∴2cosAsinC-sinC=0,即sinC(2cosA-1)=0
∵C是三角形内角,sinC≠0
∴2cosA-1=0,可得cosA=
1
2

∵A是三角形内角,
∴A=
π
3
,得sinA=
3
2
            …(5分)
(II)
-2cos2C
1+tanC
+1
=
2(sin2C-cos2C)
1+
sinC
cosC
+1
=2cosC(sinC-cosC)+1=sin2C-cos2C,
-2cos2C
1+tanC
+1
=
2
sin(2C-
π
4
),
∵A=
π
3
,得C∈(0,
3
),
∴2C-
π
4
∈(-
π
4
13π
12
),可得-
2
2
<sin(2C-
π
4
)≤1,
∴-1<
2
sin(2C-
π
4
2

即三角函数式
-2cos2C
1+tanC
+1
的取值范围是(-1,
2
].     …(11分)
点评:本题给出向量平行,通过列式化简求A的大小,并求关于B的三角式的取值范围.着重考查了平面向量平行、三角恒等化简、正弦定理和诱导公式等知识,属于中档题.
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