Question

5．己知圆O：x²十y²=l，及A（0，$\sqrt{2}$-l），B（0，$\sqrt{2}$+l）：
①P是x轴上动点，当∠APB最大时，p点坐标为（±$\sqrt{2}$，0）
②过A任作一条直线，与圆O交于M、N，则$\frac{|NA|}{|NB|}$=$\sqrt{2}$-1．
③过A任作一条直线，与圆O交于M、N，则$\frac{|NA|}{|NB|}$=$\frac{|MA|}{|MB|}$成立
④任作一条直线与圆O交于M、N，则仍有$\frac{|NA|}{|NB|}$=$\frac{|MA|}{|MB|}$．
上述说法正确的是②③④．

Answer 1

分析 设出P的坐标，求出PA，PB所在直线的斜率，利用到角公式求解当∠APB最大时，p点坐标判断①错误；
设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），计算出$\frac{|NA|}{|NB|}$、$\frac{|MA|}{|MB|}$的值，说明②③④正确．

解答 解：设P（x，0），当x＞0时，${k}_{PA}=\frac{\sqrt{2}-1}{-x}=\frac{1-\sqrt{2}}{x}，{k}_{PB}=\frac{\sqrt{2}+1}{-x}$
∴∠APB为直线PB到直线PA的角，
则tan$∠APB=\frac{\frac{1-\sqrt{2}}{x}+\frac{1+\sqrt{2}}{x}}{1-\frac{1-2}{{x}^{2}}}=\frac{2}{x}•\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}≤1$，
当且仅当x=1，即P（1，0）时，∠APB最大，同理可得当P（-1，0）时，∠APB最大，
∴当∠APB最大时，p点坐标为（±1，0），①错误；
A（0，$\sqrt{2}$-l），B（0，$\sqrt{2}$+l），
∵M、N在圆O：x²+y²=1上，
∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），
∴|NA|=$\sqrt{（cosβ-0）^{2}+[sinβ-（\sqrt{2}-1）]^{2}}$=$\sqrt{co{s}^{2}β+si{n}^{2}β-2（\sqrt{2}-1）sinβ+3-2\sqrt{2}}$
=$\sqrt{4-2\sqrt{2}-2（\sqrt{2}-1）sinβ}$=$\sqrt{2\sqrt{2}（\sqrt{2}-1）-2（\sqrt{2}-1）sinβ}$=$\sqrt{2（\sqrt{2}-1）（\sqrt{2}-sinβ）}$，
|NB|=$\sqrt{（cosβ-0）^{2}+[sinβ-（\sqrt{2}+1）]^{2}}$=$\sqrt{co{s}^{2}β+si{n}^{2}β-2（\sqrt{2}+1）sinβ+3+2\sqrt{2}}$
=$\sqrt{4+2\sqrt{2}-2（\sqrt{2}+1）sinβ}$=$\sqrt{2\sqrt{2}（\sqrt{2}+1）-2（\sqrt{2}+1）sinβ}$=$\sqrt{2（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-sinβ）}$，
∴$\frac{|NA|}{|NB|}$=$\sqrt{\frac{2（\sqrt{2}-1）（\sqrt{2}-sinB）}{2（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-sinB）}}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}=\sqrt{2}-1$，
由M，N是圆O：x²+y²=1上任意两点，∴②，④成立；
同理可得$\frac{|MA|}{|MB|}$=$\sqrt{2}-1$，∴$\frac{|NA|}{|NB|}$=$\frac{|MA|}{|MB|}$，③成立．
∴正确的说法是②③④．
故答案为：②③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了直线与圆的位置关系，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．