Question

已知△ABC的三内角A+C=2B（A＞C），又tanA•tanC=2+

3

，C边上的高为4

3

，求a、b、c的长．

Answer 1

分析：先根据角的关系确定角B的值，再用角C表示出A，根据tanA•tanC=2+

3

求出C的值，最后根据C边上的高为4

3

分别求出a，b的值，再由正弦定理求边c的值，得解．

解答：解：∵A+B+C=180°，A+C=2B，
∴3B=180°∴B=60°
∴A=120°-C
∴tanA•tanC=tg（120°-C）tgC=

- 3 -tanC

1- 3 tanC

•tanC=2+

3

即（tanC）²-（3+

3

）tanC+2+

3

=0
∴tgC=1或tgC=2+

3

，
∴C=45°，A=75°或C=75°，A=45°
∵A＞C∴C=45°，A=75°
当C=45°，A=75°时，
∵c边上的高为4

3

，
a=4

3

×

1

sinB

=8，b=4

3

×

1

sinA

=12

2

-4

6

，
又根据正弦定理可得c=

b

sinB

×sinC=8

3

-8．

点评：本题主要考查正弦定理和两角和与差的正切公式．在三角形中解题时一定要密切注意角的变化范围．