Question

（2012•邯郸模拟）已知函数f（x）=ax²-（2+5a）x+5lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=3和x=5处的切线互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g(x)=x2-

5

2

x，若对任意x1∈(0，

5

2

]，均存在x2∈(0，

5

2

]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f′(x)=2ax-(2+5a)+

5

x

，x＞0和曲线y=f（x）在x=3和x=5处的切线互相平行，知f′（3）=f′（5），由此能求出a．
（Ⅱ）由f′(x)=2ax-(2+5a)+

5

x

=

(ax-1)(2x-5)

x

，x＞0，根据a的符号进行分类讨论，能够求出f（x）的单调递区间．
（Ⅲ）g(x)=x2-

5

2

x，对任意x1∈(0，

5

2

]，均存在x2∈(0，

5

2

]，使得f（x₁）＜g（x₂），等价于在（0，

5

2

]上，有f（x）_max＜g（x）_max．由此能求出a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax²-（2+5a）x+5lnx，
∴f′(x)=2ax-(2+5a)+

5

x

，x＞0．
∵曲线y=f（x）在x=3和x=5处的切线互相平行，
∴f′（3）=f′（5），即6a-（2+5a）+

5

3

=10a-（2+5a）+1，
解得a=

1

6

．
（Ⅱ）∵f′(x)=2ax-(2+5a)+

5

x

=

(ax-1)(2x-5)

x

，x＞0，
①当a≤0时，x＞0，ax-1＜0，
在区间（0，

5

2

）上，f′（x）＞0；
在区间（

5

2

，+∞）上，f′（x）＜0．
故f（x）的增区间是（0，

5

2

），减区间是（

5

2

，+∞）．
②当0＜a＜

2

5

时，

1

a

＞

5

2

．在区间（0，

5

2

）和（

1

a

，+∞）上，f′（x）＞0；
在区间（

5

2

，

1

a

）上，f′（x）＜0．
故f（x）的增区间是（0，

5

2

），（

1

a

，+∞），减区间是（

5

2

，

1

a

）．
③当a=

2

5

时，f′(x)=

4(x- 5 2 )2

5x

，
故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
④当a＞

2

5

时，0＜

1

a

＜

5

2

，
在区间（0，

1

a

）和（

5

2

，+∞）上，f′（x）＞0；
在（

1

a

，

5

2

）上，f′（x）＜0，
故f（x）的增区间是（0，

1

a

），（

5

2

，+∞），减区间是（

1

a

，

5

2

）．
（Ⅲ）∵g(x)=x2-

5

2

x，对任意x1∈(0，

5

2

]，
均存在x2∈(0，

5

2

]，使得f（x₁）＜g（x₂），
∴在（0，

5

2

]上，有f（x）_max＜g（x）_max．
g(x)=x2-

5

2

x在（0，

5

2

]的最大值g（x）_max=g（

5

2

）=0．
由（Ⅱ）知：①当a≤

2

5

时，f（x）在（0，

5

2

]上单调递增，
故f（x）_max=f（

5

2

）=

25

4

a-(2+5a)•

5

2

+5ln

5

2

=-

25

4

a-5+5ln

5

2

，
∴-

25

4

a-5+5ln

5

2

＜0，解得a＞

4

5

(ln

5

2

-1)．
故

4

5

(ln

5

2

-1)＜a≤

2

5

．
②当a＞

2

5

时，f（x）在（0，

1

a

]上单调递增，在（

1

a

，

5

2

]上单调递减，
故f（x）_max=f（

1

a

）=-5-

1

a

+5ln

1

a

=-

1

a

+5(ln

1

a

-1)，
由a＞

2

5

，知

1

a

＜

5

2

＜e，
∴ln

1

a

＜ln

5

2

＜1，∴ln

1

a

-1＜0 ，
∴a＞

2

5

．
f（x）_max＜0．
综上所述a的取值范围是(

4

5

ln

5

2

-

4

5

，+∞)．

点评：本题考查导数的几何意义的应用，考查函数的单调区间的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，综合性强，难度大．解题时要认真等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．