Question

复数z=(

1

2

-

3

2

i)2是一元二次方程ax²+bx+1=0（a，b∈R）的根，
（1）求a和b的值；      （2）若(a+bi)

.

u

+u=z（u∈C），求u．

Answer 1

分析：（1）根据所给的复数的表示形式，写出复数的最简形式，根据复数是实系数方程的解，得到方程的另一个解，根据韦达定理得到要求的a，b的值．
（2）设出复数u的表示式，根据所给的等式，整理成最简形式，根据复数相等的充要条件，得到关于u的实部和虚部的关系式，解方程组即可．

解答：解：（1）∵复数z=(

1

2

-

3

2

i)2
∴Z=-

1

2

-

3

2

i，
因为方程ax²+bx+1=0（a．b∈R）是实系数一元二次方程，
所以它的另一个根为-

1

2

+

3

2

i
由韦达定理知：

(- 1 2 - 3 2 i)+(- 1 2 + 3 2 i)=- b a (- 1 2 - 3 2 i)(- 1 2 + 3 2 i)= 1 a

?

a=1 b=1

（2）由（1）知(1+i)

.

u

+u=-

1

2

-

3

2

i，设u=x+yi（x，y∈R）
则：(1+i)(x-yi)+(x+yi)=-

1

2

-

3

2

i，
得(2x+y)+xi=-

1

2

-

3

2

i

2x+y=- 1 2 x=- 3 2

?

x=- 3 2 y= 3 - 1 2

，
∴u=-

3

2

+

2 3 -1

2

i．

点评：本题考查复数相等的充要条件，考查实系数二次方程的根和系数之间的关系，本题是一个易错题，易错点是根和系数的关系的应用．