Question

已知向量

a

=（

3

，cosx-

1

3

），

b

=（sinx，1），函数f（x）=

a

•

b

．将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的

1

2

，把所得到的图象再向左平移

π

3

个单位，得到函数y=g（x）的图象．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若

a

⊥

b

，求y=g（x） 的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的坐标运算可求得f（x）=

a

•

b

，从而可求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）利用向量的数量积，求出g（x）的表达式，然后求出函数的最小值．

解答：（原创题） 解：（Ⅰ）函数f（x）=

a

•

b

=

3

sinx+cosx-

1

3

=2sin（x+

π

6

）-

1

3

…（3分）
∴2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z．
解得：2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

．∴f（x）的单调递增区间为[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]，k∈Z（6分）
（Ⅱ）∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=0由（1）得2sin（x+

π

6

）-

1

3

=0，∴sin（x+

π

6

）=

1

6

…（7分）
∵f（x）=2sin（x+

π

6

）-

1

3

，将函数

1

2

y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的，得：y=2sin（2x+

π

6

）-

1

3

，再向左平移

π

3

个单位，g（x）=2sin[2（x+

π

3

）+

π

6

]-

1

3

…（10分）
得g（x）=2sin（2x+

5π

6

）-

1

3

=2sin[2（x+

π

6

）+

π

2

]-

1

3

=2cos（2x+

π

3

）-

1

3

=2[1-2sin²（x+

π

6

）]-

1

3

=2（1-

1

18

）-

1

3

=

14

9

…（14分）

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，以向量的坐标运算为载体考查三角函数的化简求值，考查正弦函数的性质，是三角中的综合题，属于中档题．