如图.在正三棱柱ABC-A1B1C1中.AB=3.AA1=4.M为AA1的中点.P是BC上一点.且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为.设这条最短路线与CC1的交点为N.求:(Ⅰ)该三棱柱的侧面展开图的对角线长, (Ⅱ)PC和NC的长, (Ⅲ)平面NMP与平面ABC所成二面角的大小. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4，M为AA₁的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC₁到M的最短路线长为

，设这条最短路线与CC₁的交点为N，
求：（Ⅰ）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（Ⅱ）PC和NC的长；
（Ⅲ）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）。

解：（Ⅰ）正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为；
（Ⅱ）如图1，将侧面绕棱CC₁旋转120° 使其与侧成在同一平面上，点P运动到点P₁的位置，连接MP₁，则MP₁就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC₁到点M的最短路线，设PC=x，则，在中，由勾股定理得，求得x=2， ∴，， ∴。	图1
（Ⅲ）如图2，连结PP₁，则PP₁就是平面NMP与平面ABC的交线，作于H，又CC₁⊥平面ABC，连结CH，由三垂线定理得，， ∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角），在中，， ∴，在中，，故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为。	图2

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如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，若二面角C-AB-C₁的大小为60°，则点C到平面C₁AB的距离为（　　）

A、

B、

C、

D、1

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如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1，若AD与平面AA₁CC₁所成的角为a，则sina=

．

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如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E、G分别是AB、BB₁、AC₁的中点，AB=BB₁=2．
（Ⅰ）在棱B₁C₁上是否存在点F使GF∥DE？如果存在，试确定它的位置；如果不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求截面DEG与底面ABC所成锐二面角的正切值；
（Ⅲ）求B₁到截面DEG的距离．

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如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=4，AB=2，M是AC的中点，点N在AA₁上，AN=

．
（Ⅰ）求BC₁与侧面ACC₁A₁所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角C₁-BM-C的正切值；
（Ⅲ）证明MN⊥BC₁．

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（2012•马鞍山二模）如图，在正三棱柱ABC一DEF中，AB=2，AD=1，P是CF的延长线上一点，过A、B、P三点的平面交FD于M，交EF于N．
（I）求证：MN∥平面CDE：
（II）当平面PAB⊥平面CDE时，求三梭台MNF-ABC的体积．

同步练习册答案

解：（Ⅰ）正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为；
（Ⅱ）如图1，将侧面绕棱CC₁旋转120° 使其与侧成在同一平面上，点P运动到点P₁的位置，连接MP₁，则MP₁就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC₁到点M的最短路线，设PC=x，则，在中，由勾股定理得，求得x=2， ∴，， ∴。	图1
（Ⅲ）如图2，连结PP₁，则PP₁就是平面NMP与平面ABC的交线，作于H，又CC₁⊥平面ABC，连结CH，由三垂线定理得，， ∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角），在中，， ∴，在中，，故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为。	图2