Question

有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．

Answer 1

解：法一：由题意可设所求的方程为(x－3)²＋(y－6)²＋λ(4x－3y＋6)＝0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得λ＝－1，所以所求圆的方程为x²＋y²－10x－9y＋39＝0.

法二：设圆的方程为(x－a)²＋(y－b)²＝r²，

则圆心为C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，得

解得所以所求圆的方程为(x－5)²＋(y－)²＝.

法三：设圆的方程为x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，由CA⊥l，A(3,6)，B(5,2)在圆上，得

解得

所以所求圆的方程为x²＋y²－10x－9y＋39＝0.

法四：设圆心为C，则CA⊥l，又设AC与圆的另一交点为P，则CA的方程为y－6＝－(x－3)，

即3x＋4y－33＝0.

又因为k_AB＝＝－2，

所以k_BP＝，所以直线BP的方程为x－2y－1＝0.

解方程组得所以P(7,3)．

所以圆心为AP的中点(5，)，半径为|AC|＝.

所以所求圆的方程为(x－5)²＋(y－)²＝.