Question

若公比为c的等比数列{a_n}的首项a₁=1且满足a_n=(n=3,4,…).

(1)求c的值;

(2)求数列{na_n}的前n项和S_n.

Answer 1

解：(1)由题设,当n≥3时,a_n=c²a_n-2,

a_n-1=ca_n-2,

a_n=

由题设条件可得:a_n-2≠0,因此c²=,即

2c²-c-1=0.

解得c=1或c=.

(2)由(1)知需要分两种情况讨论.

当c=1时,数列{a_n}是一个常数列,

即a_n=1(n∈N₊).

这时,数列{na_n}的前n项和

S_n=1+2+3+…+n=.

当c=时,数列{a_n}是一个公比为的等比数列,即a_n=()^n-1(n∈N₊).

这时,数列{na_n}的前n项和

S_n=1+2×()+3×()²+…+n·()^n-1,               ①

①式两边同乘,得S_n=+2×()²+…+(n-1)·()^n-1+n·()ⁿ.         ②

①式减去②式,得

(1+)S_n=1+()+()²+…+()^n-1-n·()ⁿ=-n()ⁿ.

所以S_n=［4-(-1)ⁿ］(n∈N₊).

温馨提示

    （1）对于等比数列的判定，往往由通项公式决定，同时本题更用到了等比数列前n项和S_n的推导方法——错位相减法.

    (2)一般地，如果数列{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，公比为q，求数列{a_n·b_n}的前n项和时，可采用这一思路和方法.

    (3)在写出“S_n”与“qS_n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“S_n-qS_n”的表达式.