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    已知数列{an}满足an+1=pan2+q（p，q∈R，n∈N+）则下列命题正确的是
     
    （写出所有正确命题的编号）
    ①若a2=q，则a1=0；
    ②存在p，对于任意的q∈R，数列{an}既是等差数列又是等比数列；
    ③当p=1，q=0且a1=10时，lgan=2n-1；
    ④若p=
    1
    4
    ，q=
    3
    4
    且a1为奇数，则数列{an}的所有项都是奇数；
    ⑤若p=
    1
    4
    ，q=
    3
    4
    ，a1＞0且an+1＞an，则0＜a1＜1或a1＞3．
    考点：数列递推式
    专题：点列、递归数列与数学归纳法
    分析：根据数列的递推关系，分别进行判断即可得到结论．
    解答： 解：①若a2=q，a2=pa12+q=q．即pa12=0，则a1=0或p=0，当p=0时，结论不成立，故①错误；
    ②若存在p，对于任意的q∈R，数列{an}既是等差数列又是等比数列，则数列{an}是非零的常数列，
    设an=c，（c≠0），
    则方程等价为c=pc2+q，即pc2-c+q=0；
    则q=c-pc2，若p的常数，则q=c-pc2，也是常数，则对于任意的q∈R，数列{an}既是等差数列又是等比数列不成立，故②错误，
    ③当p=1，q=0且a1=10时，an+1=an2，则a2=a12=102，a3=a22=（102）2=104，
    a4=a32=108，an=an-12=102n-1，则lgan=2n-1成立，故③正确，
    ④若p=
    1
    4
    ，q=
    3
    4
    且a1为奇数，则an+1=
    1
    4
    an2+
    3
    4
    =
    1
    4
    （an2+3），若an为奇数，
    设a1=2n+1，an+1=
    1
    4
    [（2n+1）2+3]=
    1
    4
    （4n2+4n+1+3）=n2+n+1=n（n+1）+1是奇数，故数列{an}的所有项都是奇数正确，故④正确，
    ⑤若p=
    1
    4
    ，q=
    3
    4
    ，a1＞0且an+1＞an，则an＞0，且an+1=
    1
    4
    an2+
    3
    4
    ＞an，
    即an2-4an+3＞0，∴0＜an＜1或an＞3，∴0＜a1＜1或a1＞3正确，故⑤正确．
    故答案为：③④⑤
    点评：本题主要考查数列的递推关系的应用，根据相关结论进行推理是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
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    2
    3
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    4
    3
    ÷（2a -
    1
    3
    b -
    1
    3
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