Question

已知△ABC是正三角形，GC是△ABC的中线，EA、FB、CD都垂直于平面ABC．EA=3a，AB=CD=2a，FB=a，设平面EDF与平面ABC的交线为l．
（1）证明GC∥l；
（2）证明平面EABF与平面EDF垂直；
（3）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

证明：（1）取EF中点H，连DH，HG 在梯形EABF中，HG是梯形中位线，

故HG∥DC，HG===2a=CD，
∴四边形HGCD是平行四边形，
∴CG∥DH，
∴CG∥平面EFD，平面EDF∩平面ABC=l
∴CG∥l
（2）△ABC是正三角形，G是AB的中点，
∴CG⊥AB，
∵AE⊥CG，
∴CG⊥平面ABFE，
∴DH⊥平面ABFE，
∴平面EABF⊥平面EDF；
（3）∵三棱柱EMN﹣ABC的体积
V₁=S_ABC|AE|= 2a2asin60°3a=3a³，
而四棱锥E﹣MFDN的体积V₂=S_MFDNh（h为该四棱锥的高，其数值为底面等边△EMN的底边MN上的高），
∴V₂=h==a³，
∴多面体ABCDEF的体积V=V₁﹣V₂=3a³﹣a³=2a³．