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椭圆的两个焦点F1、F2,点P在椭圆C上,且PF1⊥F1F2,且|PF1|=
(I)求椭圆C的方程.
(II)以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC,这样的直角三角形是否存在?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)由,知.由PF1⊥F1F2,知,由此能求出椭圆方程.
(Ⅱ)设能构成等腰直角三角形ABC,其中B(0,1),由题意可知,直角边BA,BC不可能垂直或平行于x轴,故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1(不妨设k<0),则BC边所在直线的方程为y=-,由,得A=,由此知存在三个内接等腰直角三角形.
解答:解:(Ⅰ)∵
又PF1⊥F1F2,∴
∴2a=|PF1|+|PF2|=4则c=,∴a=2,b2=1
∴所求椭圆方程为.(6分)
(Ⅱ)设能构成等腰直角三角形ABC,其中B(0,1),
由题意可知,直角边BA,BC不可能垂直或平行于x轴,
故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1(不妨设k<0),则BC边所在直线的方程为y=-
,得A
=,(9分)
用-代替上式中的k,得|BC|=,由|AB|=|BC|,得|k|(4+k2)=1+4k2
∵k<0,∴解得:k=-1或k=,故存在三个内接等腰直角三角形.(12分)
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识,解题时要注意椭圆性质的灵活运用,合理地进行等价转化.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点M(2
3
,1)在椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上,椭圆的两个焦点F1(-2
3
,0)和F2(2
3
,0),斜率为-1的直线l与椭圆C相交于不同的P、Q两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若点B的坐标为(0,2),是否存在直线l,使△BPQ为以PQ为底边的等腰三角形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆的两个焦点F1(-
3
,0),F2 (
3
,0)
,且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点(1,0)且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q,若在x轴上存在定点E(m,0),使
PE
QE
恒为定值,求m的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆的两个焦点F1(-
3
,0),F2(
3
,0)
,过F1且与坐标轴不平行的直线l1与椭圆相交于M,N两点,如果△MNF2的周长等于8.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同两点P、Q,试问在x轴上是否存在定点E(m,0),使
PE
QE
恒为定值?若存在,求出E的坐标及定值;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•江西模拟)已知椭圆的两个焦点F1(-
3
,0)
F2(
3
,0)
,过F1且与坐标轴不平行的直线l1与椭圆相交于M,N两点,△MNF2的周长等于8.若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同两点P、Q,x轴上存在定点E(m,0),使
PE
QE
恒为定值,则E的坐标为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•成都模拟)已知椭圆的两个焦点F1(0,1)、F2(0,1)、直线y=4是它的一条准线,A1、A2分别是椭圆的上、下两个顶点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设以原点为顶点,A1点的抛物线为C,若过点F1的直线l与C交于不同的两点M、N,求线段MN的中点Q的轨迹方程.

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