Question

已知椭圆C的焦点为F₁（-2

2

，0）和 F₂（2

2

，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．
求：
（1）椭圆C的标准方程；
（2）弦AB的中点坐标及弦长．

Answer 1

分析：（1）由椭圆C的焦点为F₁（-2

2

，0）和 F₂（2

2

，0），长轴长为6，能求出椭圆C的标准方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB线段的中点为M（x₀，y₀），由

x2+9y2=9 y=x+2

，得10x²+36x+27=0，故x1+x2=-

18

5

，x1x2=

27

10

，由此能求出弦AB的中点坐标及弦长．

解答：解：（1）∵椭圆C的焦点为F₁（-2

2

，0）和 F₂（2

2

，0），长轴长为6，
∴椭圆的焦点在x轴上，c=2

2

，a=3，∴b=1，
∴椭圆C的标准方程

x2

9

+y2=1
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB线段的中点为M（x₀，y₀）
由

x2+9y2=9 y=x+2

，消去y，得10x²+36x+27=0，
∴x1+x2=-

18

5

，x1x2=

27

10

，
∴x0=-

9

5

，∵y0=x0+2=2-

9

5

=

1

5

，
∴弦AB的中点坐标为（-

9

5

，

1

5

），
|AB|=

1+k2

|x1-x2|
=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

(- 18 5 )2-4× 27 10

=

6 3

5

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查弦AB的中点坐标及弦长．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．