Question

若函数f(x)＝ax³－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.
(1)求函数的解析式．
(2)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．

Answer 1

(1) f(x)＝x³－4x＋4.(2)－<k<.

试题分析：f′(x)＝3ax²－b.
(1)由题意得解得
故所求函数的解析式为f(x)＝x³－4x＋4.
(2)由(1)可得f′(x)＝x²－4＝(x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，－2)	－2	(－2，2)	2	(2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?		?	－

因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，
当x＝2时，f(x)有极小值－，
所以函数f(x)＝x³－4x＋4的图象大致如图所示．

若f(x)＝k有3个不同的根，则直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，所以－<k<.
点评：中档题，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，是导数的应用中的基本问题。本题（II）应用导数，通过研究函数的单调性、极值等，对函数的图象有了充分的了解，明确了函数零点情况。