Question

已知数列{b_n}是等差数列，b₁=1,b₁+b₂+…+b₁₀=145.

(1)求数列{b_n}的通项b_n；

(2)设数列{a_n}的通项a_n=log_a(1+)(其中a＞0且a≠1),记S_n是数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与log_ab_n+1的大小，并证明你的结论.

Answer 1

(1) b_n=3n－2 (2) 当a＞1时，S_n＞log_ab_n+1；当0＜a＜1时，S_n＜log_ab_n+1

解析:

(1)设数列{b_n}的公差为d，由题意得 

解得b₁=1,d=3,∴b_n=3n－2.

(2)由b_n=3n－2,知S_n=log_a(1+1)+log_a(1+)+…+log_a(1+)

=log_a［(1+1)(1+)…(1+)］，log_ab_n+1=log_a.

因此要比较S_n与log_ab_n+1的大小，

可先比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小，

取n=1时，有(1+1)＞

取n=2时，有(1+1)(1+)＞…

由此推测(1+1)(1+)…(1+)＞     ①

若①式成立，则由对数函数性质可判定:

当a＞1时，S_n＞log_ab_n+1，                                 ②

当0＜a＜1时，S_n＜log_ab_n+1，                           ③

下面用数学归纳法证明①式.

(ⅰ)当n=1时，已验证①式成立.

(ⅱ)假设当n=k时(k≥1），①式成立，即:

  那么当n=k+1时，

 

这就是说①式当n=k+1时也成立.

由(ⅰ）(ⅱ）可知①式对任何正整数n都成立.

由此证得:当a＞1时，S_n＞log_ab_n+1；当0＜a＜1时，S_n＜log_ab_n+1