Question

某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件售价为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占广告费的50％”之和．

(1)试将利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数．如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？

(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题意，每年产销Q万件，共计成本为(32Q＋3)万元． 　　销售收入是(32Q＋3)·150％＋x·50％． 　　∴年利润y＝年收入－年成本－年广告费 　　＝(32Q＋3－x)＝(32×＋3－x) 　　 　　∴所求的函数关系式为y＝ 　　当x＝100时，y＜0，故当年广告费投入100万元时，企业亏损． 　　(2)由y＝，可得 　　 　　令＝0，则x2＋2x－63＝0，∴x＝－9(舍去)或x＝7． 　　又x∈(0，7)时，＞0；x∈(7，＋∞)时，＜0， 　　∴y极大值＝42． 　　又∵在(0，＋∞)上只有一个极值点， 　　∴ymax＝y极大值＝42． 　　故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大，最大利润为42万元．