Question

【题目】如图，江的两岸可近似的看成两平行的直线，江岸的一侧有A，B两个蔬菜基地，江的另一侧点C处有一个超市．已知A、B、C中任意两点间的距离为20千米．超市欲在AB之间建一个运输中转站D，A，B两处的蔬菜运抵D处后，再统一经过货轮运抵C处．由于A，B两处蔬菜的差异，这两处的运输费用也不同．如果从A处出发的运输费为每千米2元，从B处出发的运输费为每千米1元，货轮的运输费为每千米3元．

（1）设∠ADC=α，试将运输总费用S（单位：元）表示为α的函数S（α），并写出自变量的取值范围；
（2）问中转站D建在何处时，运输总费用S最小？并求出最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题在△ACD中，∵∠CAD=∠ABC=∠ACB= ，∠CDA=α，∴∠ACD= ﹣α．

又AB=BC=CA=20，△ACD中，

由正弦定理知 = = ，得CD= ，AD= ，

∴S=2AD+BD+3CD=AD+3CD+20= + +20

=10 +20 （ ＜α＜ ）

（2）解：S′=10 ，令S′=0，得cosα=﹣

当cosα＜﹣ 时，S′＜0；当cosα＞﹣ 时，S′＞0，∴当cosα=﹣ 时S取得最小值．

此时，sinα= ，AD=10﹣ ，

∴中转站距A处10﹣ 千米时，运输成本S最小

【解析】（1）由题在△ACD中，由正弦定理求得CD、AD的值，即可求得运输成本S的解析式．（2）利用导数求得cosα=﹣ 时，函数S取得极小值，由此可得中转点D到A的距离以及S的最小值．