Question

12．如图所示：“十字形”公路的交叉处周围呈扇形形状，某市规划拟在这块扇形土尘修建一个圆形广扬，已知∠A0B=60°，AB的长度=100πm，怎样设计广场的占地面积最大？其值是多少？

Answer 1

分析 由已知及弧长公式可求OA，设⊙O₁与OA切于C点，连结O₁O、O₁C，可得O₁C=（300-O₁C）×$\frac{1}{2}$，解得O₁C，即可求得面积．

解答 解：如题图，∵∠AOB=60°=$\frac{π}{3}$，$\widehat{AB}$=100π，
∴OA=$\frac{100π}{\frac{π}{3}}$=300（m）．
欲使圆形广场的占地面积最大，只需⊙O₁与扇形相切．
设⊙O₁与OA切于C点，连结O₁O、O₁C，
则∠O₁OC=30°=$\frac{π}{6}$，O₁O=OA-O₁C=300-O₁C，
∴O₁C=O₁Osin$\frac{π}{6}$，即O₁C=（300-O₁C）×$\frac{1}{2}$．
解得O₁C=100（m），这时πO₁C²=10 000π（m²）．
答：圆形广场的半径为100 m时，其占地面积最大，且最大值为10000π m²．

点评 本题主要考查了弧长公式，圆的面积公式，考查了计算能力，属于中档题．