Question

2．如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinAsinAcosC+sinCsinAcosA=$\frac{1}{3}$sinC，D为AC边上一点．
（1）若c=2b=4，S_△BCD=$\frac{5}{3}$，求DC的长；
（2）若D是AC的中点，且cosB=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，BD=\sqrt{26}$，求△ABC的最短边的边长．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得sinAsinB=$\frac{1}{3}$sinC，结合已知可求sinA，利用三角形面积公式可求ABC的面积，进而可求CD的值．
（2）由同角三角函数基本关系式可求sinB，结合已知可求A，利用正弦定理，余弦定理可求三边长，即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：∵sinAsinAcosC+sinCsinAcosA=$\frac{1}{3}$sinC，
∴sinAsinB=$\frac{1}{3}$sinC，…2分
（1）∵c=2b，
∴sinC=2sinB，则sinA=$\frac{2}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{8}{3}$，…4分
∵AC=2，S_△BCD=$\frac{5}{3}$，$\frac{CD}{AC}$=$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ABC}}$，
∴CD=$\frac{5}{4}$．…6分
（2）由cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，可得：sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，…7分
∵C=π-（A+B），
∴3sinA=$\sqrt{5}$sin（A+B），则sinA=cosA，得tanA=1，…8分
∴A=$\frac{π}{4}$，则c²+$\frac{1}{4}$b²-$\frac{\sqrt{2}}{2}$bc=26，…9分
∵sinA×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{1}{3}$sinC，且sinB×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{3}$sinC，…10分
∴c=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a，b=$\frac{\sqrt{2}}{3}$c=$\frac{\sqrt{10}}{5}$a，
∴$\frac{9}{5}$a²+$\frac{1}{10}$a²-$\frac{3}{5}$a²=26，…11分
∴解得：a=2$\sqrt{5}$，
∴b=2$\sqrt{2}$，c=6，
∴△ABC的最短边的边长为2$\sqrt{2}$．…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．