Question

（16） 如图, 在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝AD＝2，DC＝2，AA₁＝，AD⊥DC，AC⊥BD, 垂足为E，

  （I）求证：BD⊥A₁C；

  （II）求二面角A ₁－BD－C ₁的大小；

  （III）求异面直线 AD与 BC ₁所成角的大小．

Answer 1

（16）解法一：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（I）在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，

∵AA₁⊥底面ABCD．

∴ AC是A₁C在平面ABCD上的射影．

∵BD⊥AC．

∴ BD⊥A₁C；

（II）连结A₁E，C₁E，A₁C₁．

   与（I）同理可证BD⊥A₁E，BD⊥C₁E，

∴ ∠A₁EC₁为二面角A₁－BD－C₁的平面角． 

∵  AD⊥DC，

∴ ∠A₁D₁C₁=∠ADC＝90°，

    又A₁D₁=AD＝2，D₁C₁= DC＝2，AA₁=且 AC⊥BD，

∴ A₁C₁＝4，AE＝1，EC＝3，

∴ A₁E＝2，C₁E＝2，

在△A₁EC₁中，A₁C₁²＝A₁E²＋C₁E²，

∴ ∠A₁EC₁＝90°，

    即二面角A₁－BD－C₁的大小为90°．

（III）过B作 BF//AD交 AC于 F，连结FC₁，

则∠C₁BF就是AD与BC₁所成的角．

∵AB＝AD＝2， BD⊥AC，AE＝1，

∴BF=2，EF＝1，FC＝2，BC＝DC，

∴ FC₁=，BC₁＝，

在△BFC₁ 中,cos∠C₁BF＝

 

∴ ∠C₁BF=

 

即异面直线AD与BC₁所成角的大小为．

解法二：

(Ⅰ)同解法一。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。

连结A₁E，C₁E,A₁C₁

与（Ⅰ）同理可证，BD⊥A₁E，BD⊥C₁E ,

∴∠A₁EC₁为二面角A₁－BD－C₁的平面角。

由A₁（2，0，），C₁（0，2，）,

E（，0）,

得＝（），＝（－）

∴·＝+3＝0

∴⊥，即EA₁⊥EC₁

∴二面角A₁－BD－C₁的大小为90°

（Ⅲ）如图，由D（0，0，0），A（2，0，0），C₁（0，2，），B(3, ,0)

得＝（－2，0，0），＝（－3, ,）

∴·＝6，||＝2，||＝，

∴cos(,)===,

∴异面直线AD与BC₁所成的角大小为arccos.

解法三：

（Ⅰ）同解法一。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，坐标原点为E。

连结A₁E，C₁E，A₁C₁

与（Ⅰ）同理可证，BD⊥A₁E，BD⊥C₁E，

∴∠A₁EC₁为二面角A₁－BD－C₁的平面角。

由E（0，0，0），

A₁（0，－1，），

C₁（0，3，），

得，＝（0，3，）。

∵·＝－3+3＝0

∴⊥，即EA₁⊥EC₁

∴二面角A₁－BD－C₁的大小为90°

（Ⅲ）如图，由A(0,－1，0)，D（－，0，0），B（，0,0），C₁（0，3，）

得＝（－，1,0），＝（－，3，）。

∵·＝3+3＝6，｜｜＝2，｜｜＝

∴cos<,>===,

∴异面直线AD与BC₁所成的角大小为arccos.