Question

已知抛物线y²=4ax（a＞0且a为常数），F为其焦点．
（1）写出焦点F的坐标；
（2）过点F的直线与抛物线相交于P、Q两点，且

PF

=2

FQ

，求直线PQ的斜率；
（3）若线段AC、BD是过抛物线焦点F的两条动弦，且满足AC⊥BD，如图所示．求四边形ABCD面积的最小值S（a）．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的性质可知p=2a，进而焦点坐标为F（a，0）．
（2）假设点为P（x₀，y₀）、Q（x₁，y₁），然后表示出

PF

、

FQ

，再根据

PF

=2

FQ

可以得到（a-x₀，-y₀）=2（x₁-a，y₁），再由y₁²=4ax₁，y₀²=4ax₀，可确定

y 2 0

4

=4a•

3a-x0

2

，进而可得x₀=2a，y₀²=4ax₀=8a²，即y0=±2

2

a，然后表示出直线PQ的斜率代入即可得到答案．
（3）设直线AC的斜率为k_AC=k（k≠0），可得到AC的方程然后与抛物线联立得到两根之和、两根之积，根据弦长公式表示出|AC|并化简，然后根据直线AC的斜率可得到直线BD的斜率求出|BD|的弦长，再表示出S_{四边形ABCD}运用基本不等式可确定答案．

解答：解：（1）∵抛物线方程为y²=4ax（a＞0），∴焦点为F（a，0）．
（2）设满足题意的点为P（x₀，y₀）、Q（x₁，y₁）．
∵

PF

=2

FQ

，
∴(a-x0，-y0)=2(x1-a，y1)，即

x1= 3a-x0 2 y1=- y0 2

．
又y₁²=4ax₁，y₀²=4ax₀，
∴

y 2 0

4

=4a•

3a-x0

2

，进而可得x0=2a，

y

2 0

=4ax0=8a2，即y0=±2

2

a．
∴kPQ=kPF=

y0-0

x0-a

=±2

2

．
（3）由题可知，直线AC既不平行x轴，也不平行y轴（否则AC，BD与抛物线不会有四个交点），
于是，设直线AC的斜率为k_AC=k（k≠0），则AC的方程为：y=k（x-a）．
联立方程组

y2=4ax y=k(x-a)

，化简得k²x²-2a（k²+2）x+k²a²=0（设点A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）），
则x₁、x₂是此方程的两个根．
∴

x1+x2= 2a(k2+2) k2 x1x2=a2

．
∴弦长|AC|=|x1-x2|

1+k2

=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

( 2a(k2+2) k2 )2-4a2

=4a

1+k2

k2

．
又AC⊥BD，∴kBD=-

1

k

．
于是，弦长|BD|=4a

1+(- 1 k )2

(- 1 k )2

=4a(1+k2)．
∴S四边形ABCD=

1

2

|AC|•|BD|=8a2

(1+k2)2

k2

=8a2(k2+

1

k2

+2)≥32a2（当且仅当k2=

1

k2

，即k=±1时，等号成立）．
∴S（a）=32a²．

点评：本题主要考查抛物线和直线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题一般作为高考的压轴题出现，要想解答正确，就必须对基础知识熟练掌握．