Question

对于企业来说，生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题．对一家药品生产企业的研究表明，该企业的生产成本y（单位：万元）和生产收入z（单位：万元）都是产量x（单位：t）的函数，分别为：y=x³-24x²+63x+10，Z=18x．
①试写出该企业获得的生产利润w（单位：万元）与产量x之间的函数关系式；
②当产量为多少时，该企业可获得最大利润？最大利润为多少？

Answer 1

解：①由题意，利用销售收入减去生产成本，可得生产利润w=18x-（x³-24x²+63x+10）=-x³+24x²-45x-10（x＞0）；
②求导函数可得：w′=-3x²+48x-45=-3（x-1）（x-15）
∴函数在（1，15）上是单调增函数，在（15，+∞）上是单调减函数
∴x=15时，可获得最大利润w=-3375+5400-675-10=1340万元
∴产量为15t时，该企业可获得最大利润，最大利润为1340万元．
分析：①由题意，利用销售收入减去生产成本，可得生产利润函数；
②求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的最大值．
点评：本题考查函数模型的构建，考查利用导数知识解决实际问题，正确构建函数是关键．