Question

已知两个集合A={

a

|

a

=(cosα，4-cos2α)，α∈R}，B={

b

|

b

=(cosβ，λ+sinβ)，β∈R}，若A∩B≠∅，则实数λ的取值范围是（　　）

• A．[2，5]
• B．（-∞，5]
• C．[

  11

  4

  ，+∞)
• D．[

  11

  4

  ，5]

Answer 1

分析：A∩B≠∅，即是说方程组

cosα=cosβ              ① 4-cos2α=λ+sinβ    ②

有解，两式消去α得出4-cos²β=λ+sinβ后，移向得出λ=sin²β-sinβ-3，根据sinβ的有界性求出λ的取值范围．

解答：解：A∩B≠∅，即是说方程组

cosα=cosβ              ① 4-cos2α=λ+sinβ    ②

有解．
由①得4-cos²β=λ+sinβ，得出λ=3+sin²β-sinβ=（sinβ-

1

2

）²+

11

4

；
∵sinβ∈[-1，1]，
∴当sinβ=

1

2

时，λ的最小值为

11

4

，
当sinβ=-1时，λ的最大值为5．
故选：D．

点评：本题考查方程思想、函数思想、分离参数的思想方法．考查分析、解决、逻辑思维、计算能力．